Đề kiểm tra Toán cao cấp A1 Mã đề 0834

Câu 46: Tìm các giá trị riêng \( \lambda \) của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ -7 & 0 \end{pmatrix} \]

A. \( \lambda = 7 \)
B. \( \lambda = -1 \; \vee \; \lambda = 7 \)
C. \( \lambda = 1  \; \vee \; \lambda = -7 \)
D. \( \lambda = 1  \; \vee \; \lambda = 7 \)

Câu 44: Giải hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} x + y + z = -5 \\ 2x + 3y - z = 1 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases} \]

A. Hệ vô nghiệm
B. \( x = 1 - \alpha, \; y = 1, \; z = \alpha; \; \alpha \in \mathbb{R} \)
C. \( x = -1, \; y = 1, \; z = 0 \)
D. \( x = \alpha, \; y = \beta, \; z = 1 - \alpha - \beta; \; \alpha, \beta \in \mathbb{R} \)

Câu 58 = 30: Cho hai ma trận

\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\  -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}. \]

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \( MN = \begin{pmatrix} 14 & 7 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

B. \( MN = \begin{pmatrix} 14 & 7 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

C. \( MN = \begin{pmatrix} 14 & 7 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

D.  \( NM \) xác định nhưng \(MN \) không xác định.

Câu 43: Trong không gian véc-tơ \( \mathbb{R}^3 \), cho 2 vector \(u = (-2, 4, 0); \; v = (2, 1, -1) \). Tìm véc-tơ \(w\) thỏa phương trình \(3u - 2v + w = 0 \).

Câu 49: Tìm một cơ sở của không gian nghiệm sau

\[ W = \left\{ {v = (x,y,z):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y + 2z = 0}\\ {x + 2y - 3z = 0}\\ { - x - y - 2z = 0} \end{array}} \right.} \right\} \]

Câu 60: Cho ma trận

\[ A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2} \\ { -1}&2 \\ 1 & -2 \end{array}} \right). \]

Thực hiện phép tính \( -2A \).

A. \( - 2A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -2 & -4 \\ -2 & 4 \\ -2 & -4 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

B. \( - 2A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -2 & -4 \\ -2 & 4 \\ 2 & -4 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

C. \( - 2A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -2 & 4 \\ 2 & -4 \\ -2 & 4 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

D. \( - 2A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 & -4 \\ -2 & 4 \\ 2 & -4 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

Câu 51: Cho hệ phương trình tuyến tính sau \( \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \\ 2x_1 + x_3 = 1 \\ -x_1 + x_2 - x_3 = 1 \end{cases} \)

Hãy tìm giá trị của ẩn \( x_3 \)?

Câu 55: Trong không gian \( \mathbb{R}^2 \), tìm ma trận \( A \) biểu diễn phép quay quanh gốc tọa độ với góc quay \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \). Từ đó tìm ảnh \( u' \) của vectơ \( u = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \)  qua phép quay trên.

A. \( A = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad u' = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)

B. \( A = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad u' = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \)

C. \( A = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad u' = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \)

D. \( A = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad u' = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} \)

Câu 48: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ -x + 2y - 3z = -3 \\ 2x - 2y + 6z = 10 \end{cases} \]

Câu 42: Tìm hạng của ma trận

\[ M = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 & 1 & 5 \\ 4 & 4 & 6 & 2 & 10 \\ 8 & 6 & 12 & 4 & 20 \\ 10 & 8 &15 & 5 & 26 \end{pmatrix} \]

Câu 57: Một lĩnh vực của nền kinh tế gồm 2 ngành: ngành công nghệ khai thác mỏ (Mining industry, viết tắt là M) và ngành công nghiệp chế tạo (Manufacturing industry, viết tắt là Mfg) có ma trận hệ số đầu vào là

\[ A = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.1 \\ 0.6 & 0.3 \end{pmatrix} \quad \begin{array}{l} \text{M} \\ \text{Mfg}  \end{array} \]

Ta mong muốn lượng thặng dư là 36 đơn vị sản lượng ngành công nghệ khai thác mỏ và 278 đơn vị sản lượng ngành chế tạo. Gọi \(x_1, x_2 \) lần lượt là tổng sản lượng ngành khai thác mỏ và ngành chế tạo. Tìm \(x_1, x_2 \)

A. \( (x_1, x_2) = (40, 65) \)

B. \( (x_1, x_2) = (200, 40) \)

C. \( (x_1, x_2) = (106, 488) \)

D. \( (x_1, x_2) = (200, 60) \)

Câu 47: Giải tìm nghiệm của phương trình

\[ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 3}&{  2}\\ x&{2x} \end{array}} \right| = -6 \]

A. \( x = -1 \vee x = -3 \)

B. \( x = -1 \vee x = 3 \)

C. \( x = 1 \vee x = 3 \)

D. \( x = 1 \vee x = -3 \)

Câu 45: Trong không gian \(\mathbb{R}^3\), tìm tọa độ \(x_1, x_2, x_3\) của véc-tơ \(u = (6, -1, 3) \) theo cơ sở \(A = \{u_1 = (2,1,1); \; u_2 = (1,2,1);  \; u_3 = (1,1,2)\}\)

Câu 54: Tìm \(m\) để hệ phương trình tuyến tính sau có một nghiệm duy nhất

\[ \begin{cases} x + 2y + (m-5)z = 2 \\ 2x - y = 1 \\ (5-m)x + y + (m-5)z = 6 \end{cases} \]

A. \( m \ne 5 \)

B. \( m \ne 5 \wedge m \ne 2 \)

C. \( m \ne 2 \)

D. \( m \ne 4 \)

Câu 52: Giả sử 1 nền kinh tế của 1 quốc gia có 2 ngành: nông nghiệp (Agriculture, viết tắt là A) và khoáng sản (Minerals, viết tắt là M) với ma trận hệ số đầu vào là

\[ A = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 \end{pmatrix} \quad \begin{array}{l} \text{A} \\ \text{M}  \end{array} \]

Quốc gia đó mong muốn có lượng thặng dư là 60 đơn vị nông nghiệp và 70 đơn vị khoáng sản. Gọi \(x_1, x_2 \) lần lượt là tổng sản lượng ngành nông nghiệp và khoáng sản. Tìm \(x_2 \)

A. \( x_2 = 732 \)

B. \( x_2 = 40 \)

C. \( x_2 = 100 \)

D. \( x_2 = 60 \)

Câu 53: Tập nào sau đây không là 1 cơ sở của không gian \( \mathbb{R}^3 \). 

Câu 41: Tính định thức của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 5 \end{pmatrix} \]

Câu 59: Tìm các vectơ riêng ứng với trị riêng \( \lambda = 2 \) của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}. \]

A. \( u = (-2\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \)

B. \( u = (-2\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \)

C. \( u = (2\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \)

D. \( u = (2\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \) 

Câu 50: Mã hóa tin nhắn “RIGHT THERE” bằng ma trận mã hóa

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]

Câu 56: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 11 & 8 \end{pmatrix} \]

A. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 1 &  \\ -3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)

B. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 1 & 4 \\ 3 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)

C. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & -1 & -4 \\ 3 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)

D. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & -1 & -4 \\ 3 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)