Giải bài tập Toán cao cấp A2

Views: 1325

DẠNG 1: ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN

Bài 1. (Câu 9 – Đề ôn tập năm 2023)

Tính Đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) cho bởi phương trình

$\fn_jvn \large {\color{Red} x^2+y^2-2x = 5}$

Giải:

Đạo hàm 2 vế ta được [lưu ý: (x)’ = 1, (y)’ = y’]

$\fn_jvn \large {\color{Red} 2x+2y.y'-2 = 0}$

Suy ra $\fn_jvn \large {\color{Red} 2y.y'= 2 - 2x \Rightarrow y' = \frac{2-2x}{2y}=\frac{1-x}{y}}$

DẠNG 2: ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHỨA THAM SỐ

Bài 1. (Câu 15 – Đề ôn tập năm 2023)

Cho hàm số $\fn_jvn \large {\color{Red} F(x,y)=1-x^2+2y^2}$

với $\fn_jvn \large {\color{Red} x=t^2+1, y=t^2-1}$

Tính đạo hàm của F theo t

Giải:

Cách 1: Sử dụng đạo hàm chứa tham số

Ta có $\fn_jvn \large {\color{Red} F'_t = F'_x.x'+F'_y.y'}$

$\fn_jvn \large {\color{Red} F'_x = -2x; F'_y = 4y; x'=2t; y'=2t}$

Suy ra $\fn_jvn \large {\color{Red} F'_t = -2x.2t+4y.2t=-4xt+8yt}$

Thay x,y vào ta được $\fn_jvn \large {\color{Red} F'_t = -4(t^2+1)t+8(t^2-1)t}$

$\fn_jvn \large {\color{Red} F'_t = -4t^3-4t+8t^3-8t=4t^3-12t}$

Cách 2:

Thay x, y vào F(x,y) ta được

$\fn_jvn \large {\color{Red} F(x,y)=1-(t^2+1)^2+2(t^2-1)^2}$

$\fn_jvn \large {\color{Red} F'_t=-2(t^2+1).2t+4(t^2-1).2t}$

$\fn_jvn \large {\color{Red} F'_t=-4t^3-4t+8t^3-8t=4t^3-12t}$

DẠNG 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 1. (Câu 16 – Đề ôn tập năm 2023)

Bài toán tìm cực trị hàm số $\fn_jvn \large {\color{Red} f(x,y)=x^2-2xy+2y^2}$

Giải:

Tính các đạo hàm riêng

$\fn_jvn \large {\color{Red} f'_x=2x-2y; f'_y=-2x+4y}$

$\fn_jvn \large {\color{Red} f''_{xx}=2; f''_{yy}=4; f''_{xy}=-2}$

Tìm các điểm dừng

$\fn_jvn \large {\color{Red} \left\{\begin{matrix} 2x&- 2y =& 0\\ -2x &+ 4y =&0 \end{matrix}\right.}$ $\fn_jvn \large {\color{Red} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x&=& 0\\ y&=&0 \end{matrix}\right.}$

Tại M(0,0), ta có

$\fn_jvn \large {\color{Red} A=f''_{xx}(0,0)=2; B=f''_{xy}(0,0)=-2; C=f''_{yy}(0,0)=4}$

Suy ra $\fn_jvn \large {\color{Red} \Delta =AC-B^2=2.4-(-2)^2=4>0}$

Và A = 2 > 0 nên f đại cực tiểu tại (0,0).

Insert math as

Block

Inline

Additional settings

Formula color

Text color

#333333

Formula ID

Formula classes

Type math using LaTeX

Preview

\({}\)

Nothing to preview

Insert