Đề kiểm tra Toán cao cấp A1 Mã đề 0854

Câu 85: Cho hai ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 2  \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 1 \end{pmatrix}. \]

Thực hiện phép toán \( A - B \) (nếu được).

A. \( A - B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & -5 & 1 \end{pmatrix} \)

B. \( A - B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -3 & 5 & -1 \end{pmatrix} \)

C. \( A - B \) không xác định. 

D. \( A - B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} \)

Câu 84: Tìm các vectơ riêng ứng với trị riêng \( \lambda = 2 \) của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}. \]

A. \( u = (-\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \)

B. \( u = (\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \)

C. \( u = (\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \)

D. \( u = (-\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \) 

Câu 90: Trong không gian \(\mathbb{R}^3\), tìm tọa độ \(x_1, x_2, x_3\) của véc-tơ \(u = (0, 1, 2) \) theo cơ sở \(B = \{u_1 = (1,2,3); \; u_2 = (-1,-2,-2);  \; u_3 = (2,5,6)\}\)

Câu 95: Tìm hạng của ma trận

\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]

Câu 96: Giả sử 1 nền kinh tế của 1 nước không phát triển gồm 2 ngành: ngành công nghệ chế biến nông sản (Agricultural industry, viết tắt là A) và ngành công nghiệp dầu mỏ (Oil industry, viết tắt là O) với ma trận hệ số đầu vào là

\[ A = \begin{pmatrix} 0.4 & 0.2 \\ 0.2 & 0.1 \end{pmatrix} \quad \begin{array}{l} \text{A} \\ \text{O}  \end{array} \]

Quốc gia đó mong muốn có lượng thặng dư là 0 đơn vị sản lượng ngành công nghệ chế biến nông sản và 610 đơn vị sản lượng ngành công nghiệp dầu mỏ. Gọi \(x_1, x_2 \) lần lượt là tổng sản lượng ngành chế biến nông sản và ngành công nghiệp dầu mỏ. Tìm \(x_1 \)

Câu 86: Giả sử 1 nền kinh tế của 1 quốc gia nhỏ gồm 2 ngành: ngành sản phẩm nông nghiệp (Farm Products, viết tắt là P) và ngành máy móc nông nghiệp (Farm Machinery, viết tắt là M) với ma trận hệ số đầu vào là

\[ A = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.1 \\ 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} \quad \begin{array}{l} \text{P} \\ \text{M}  \end{array} \]

Quốc gia đó mong muốn có lượng thặng dư là 96 đơn vị nông sản và 8 đơn vị máy móc nông nghiệp. Gọi \(x_1, x_2 \) lần lượt là tổng sản lượng ngành nông sản và ngành máy móc nông nghiệp. Tìm \(x_2 \)

Câu 94: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 \\ 1 & -3 & 3 \end{pmatrix} \]

A. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 30 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 0 \\ 11 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

B. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} -30 & -3 & -5 \\ -1 & 0 & 0 \\ -11 & -1 & -2 \end{pmatrix} \)

C. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} -30 & 3 & -5 \\ 1 & 0 & 0 \\ 11 & -1 & 2 \end{pmatrix} \)

D. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 30 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 0 \\ 11 & 1 & -2 \end{pmatrix} \)

Câu 98: Tìm \(m\) để hệ phương trình tuyến tính sau có một nghiệm duy nhất

\[ \begin{cases} mx + 9y = 3m + 2 \\ x + my = m + 1 \end{cases} \]

A. \( m \ne -3 \)

B. \( m \ne 3 \)

C. \( m \in \mathbb{R} \)

D. \( m \ne 3 \wedge m \ne -3 \)

Câu 81: Cho hệ phương trình tuyến tính sau \( \begin{cases} 2x_1 - x_2  + 2x_3 = 0 \\ -x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 0 \end{cases} \)

Hãy tìm giá trị của ẩn \( x_2\)?

Câu 82: Tính định thức của ma trận

\[ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

Câu 99: Giải tìm nghiệm của phương trình

\[ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 3} & 2 \\ x & 2x \end{array}} \right| = -6 \]

A. \( x = 1 \vee x = 3 \)

B. \( x = -1 \vee x = 3 \)

C. \( x = -1 \vee x = -3 \)

D. \( x = 1 \vee x = -3 \)

Câu 92: Tìm các giá trị riêng \( \lambda \) của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \]

A. \( \lambda = -1 \vee \lambda = 2 \)
B. \( \lambda = 1 \vee \lambda = 2 \)
C. \( \lambda = 1 \)
D. \( \lambda = 2  \)

Câu 88: Trong không gian véc-tơ \( \mathbb{R}^3 \), cho 2 vector \(u = (1, -2, 3, 0); \; v = (3, 2, -1, 1) \). Tìm véc-tơ \(w\) thỏa phương trình \(2u + 3v - w = 0 \).

Câu 100:Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 9 \\ -x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\ -2x_1 + 4x_2 + 6x_3 = -1 \end{cases} \]

Câu 83: Trong không gian \( \mathbb{R}^2 \), tìm ma trận \( A \) biểu diễn phép quay quanh gốc tọa độ với góc quay \( \theta = \pi \). Từ đó tìm ảnh \( u' \) của vectơ \( u = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)  qua phép quay trên.

A. \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)

B. \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &  \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)

C. \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \)

D. \( A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix} \)

Câu 91: Tìm một cơ sở của không gian nghiệm sau

\[ W = \left\{ {v = (x,y,z):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - y + 2z = 0}\\ {x - 4y + 2z = 0} \end{array}} \right.} \right\} \]

Câu 89: Tìm số chiều \(n = dimW \) của không gian con sinh bởi các véc-tơ sau \(\{\alpha_1 = (1,0,-1); \; \alpha_2 = (1,1,0);  \; \alpha_3 = (2,1,-1); \; \alpha_ = (2, 0, -2)\}\)

Câu 93: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} x - 2y = -2 \\ 3x + 3y + z = 9 \\ -3x + 5y = 2 \end{cases} \]

Câu 87: Cho hai ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2  \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Thực hiện phép toán \( AB \).

A. \( AB = \begin{pmatrix} -1 & 1  \\ 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \)

B. \( AB = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)

C. \( AB \) không tính được. 

D. \( AB = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)

Câu 97: Mã hóa tin nhắn “THINK SMALL” bằng ma trận mã hóa

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]