Đề kiểm tra Toán cao cấp A1 Mã đề 0822

Câu 38: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} 4x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 = 1 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = -2 \end{cases} \]

A. \( x_1 = 1/3, \; x_2 = -8/3, \; x_3 = -4 \)
B. \( x_1 = -1/3, \; x_2 = 8/3, \; x_3 = -4 \)
C. \( x_1 = -1/3, \; x_2 = -8/3, \; x_3 = -4 \)
D. \( x_1 = -1/3, \; x_2 = 8/3, \; x_3 = 4 \)

Câu 31: Tìm hạng của ma trận

\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -3 & 4 & 2 \\ 7 & 7 & 9 & 5 & 10 \end{pmatrix} \]

Câu 22: Giả sử 1 nền kinh tế của 1 quốc gia nhỏ có 3 ngành: công nghiệp điện tử (Electronics industry, viết tắt là E), ngành công  nghiệp gang thép (Steel industry, viết tắt là S) và ngành công nghệ ôtô (Auto industry, viết tắt là A) với ma trận hệ số đầu vào là

\[ A = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.2 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5 \\ 0.1 & 0.2 & 0.2 \end{pmatrix} \quad \begin{array}{l} \text{E} \\ \text{S} \\ \text{A} \end{array} \]

Quốc gia đó mong muốn có lượng thặng dư là 54 đơn vị sản lượng công nghiệp điện tử, 3 đơn vị sản lượng ngành gang thép và 14 đơn vị sản lượng ngành ôtô. Gọi \(x_1, x_2, x_3 \) lần lượt là tổng sản lượng ngành công nghiệp điện tử, ngành gang thép và ngành ôtô. Tìm \(x_3 \)

A. \( x_3 = 100 \)

B. \( x_3 = 220 \)

C. \( x_3 = 200 \)

D. \( x_3 = 70 \)

Câu 32: Một nước kém phát triển có 2 ngành: ngành công nghệ chế biến nông sản (Agricultural industry, viết tắt là A) và ngành công nghiệp chế tạo (Manufacturing industry, viết tắt là M) với ma trận hệ số đầu vào là

\[ A = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.2 \\ 0.2 & 0.45 \end{pmatrix} \quad \begin{array}{l} \text{A} \\ \text{M}  \end{array} \]

Quốc gia mong muốn lượng thặng dư là 8 đơn vị sản lượng ngành công nghệ chế biến nông sản và 620 đơn vị sản lượng ngành chế tạo. Gọi \(x_1, x_2 \) lần lượt là tổng sản lượng ngành chế biến nông sản và ngành chế tạo. Tìm \(x_1 \)

A. \( x_1 = 224 \)

B. \( x_1 = 321 \)

C. \( x_1 = 100 \)

D. \( x_1 = 106 \)

Câu 33: Trong không gian véc-tơ \( \mathbb{R}^3 \), cho 2 vector \(u = (2, -2, 0); \; v = (-2, 4, 4) \). Tìm véc-tơ \(w\) thỏa phương trình \(3u +4v + 2w = 0 \).

Câu 40: Tìm các giá trị riêng \( \lambda \) của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

A. \( \lambda = 2 \)
B. \( \lambda = -1 \; \vee \; \lambda = 2 \)
C. \( \lambda = 1  \; \vee \; \lambda = 2 \)
D. \( \lambda = 1 \)

Câu 35: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & -8 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

A. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 1 & -3 \\ -5/2 & 1/2 & -3/2 \\ -4 & 1 & -2 \end{pmatrix} \)

B. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} -8 & 2 & -6 \\ -5 & 1 & -3 \\ -8 & 2 & -4 \end{pmatrix} \)

C. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} -8 & -5 & -8 \\ 2 & 1 & 2 \\ -6 & -3 & -4 \end{pmatrix} \)

D. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -2 & -8 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \)

Câu 39: Tính định thức của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -6 & -1 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \]

Câu 34 = 18: Cho ma trận

\[ A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&1\\ { - 2}&2&{ - 2} \end{array}} \right). \]

Thực hiện phép tính \( -3A \).

A. \( - 3A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { 3}&-3&{  3}\\ -6&{ 6}&-6 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

B. \( - 3A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { 3}&3&{ 3}\\ -6&{ - 6}&-6 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

C. \( - 3A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -3&{ 3}&-3\\ {  6}&-6&{  6} \end{array}} \right){\rm{ }} \)

D. \( - 3A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&{ - 3}&{ - 3}\\ 6&6&6 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

Câu 36: Tìm các vectơ riêng ứng với trị riêng \( \lambda = 3 \) của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}. \]

A. \( u = (\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \)

B. \( u = (\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \)

C. \( u = (-\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \)

D. \( u = (-\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \) 

Câu 21: Cho hệ phương trình tuyến tính sau \( \begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = -1 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\ -x_1 + x_3 = 1 \end{cases} \)

Hãy tìm giá trị của ẩn \( x_1 \)?

Câu 23: Tập nào sau đây là 1 cơ sở của không gian \( \mathbb{R}^3 \). 

A. \(S = \{u = (-2, 1, 3);\, v = (4, -1, 2);\, w = (2, 0, 5)\} \)
B. \(S = \{u = (-1, 2, 1);\, v = (1, -2, -1);\, w = (2, -4, -2)\} \)
C. \(S = \{u = (2, -2, 1);\, v = (5, 1, 2);\, w = (3, 1, 1)\} \)
D. \(S = \{u = (-1, 2, 1);\, v = (1, 0, 1);\, w = (0, 0, 0)\} \)

Câu 24: Giải mã thông điệp 225, 63, 153, 42, 123, 32, 206, 55, 289, 79 được mã hoá bằng ma trận mã hoá

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]

Câu 30: Cho hai ma trận

\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\  -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}. \]

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \( MN = \begin{pmatrix} 14 & 7 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

B. \( MN = \begin{pmatrix} 14 & 7 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

C. \( MN = \begin{pmatrix} 14 & 7 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

D.  \( NM \) xác định nhưng \(MN \) không xác định.

Câu 26: Tìm \(m\) để hệ phương trình tuyến tính sau có một nghiệm duy nhất

\[ \begin{cases} (m+1)x + (6m-4)y = 2m + 4 \\ x + (m+1)y = m^2 + 4 \end{cases} \]

A. \( m \ne 1 \wedge m \ne 5 \)

B. \( m \ne 1\)

C. \( m \ne 5 \wedge m \ne -5 \)

D. \( m \in \mathbb{R} \)

Câu 29: Trong không gian \( \mathbb{R}^2 \), tìm ma trận \( A \) biểu diễn phép quay quanh gốc tọa độ với góc quay \( \theta = -\dfrac{\pi}{2} \). Từ đó tìm ảnh \( u' \) của vectơ \( u = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix} \)  qua phép quay trên.

A. \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} \)

B. \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} \)

C. \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \end{pmatrix} \)

D. \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \end{pmatrix} \)

Câu 37: Trong không gian \(\mathbb{R}^3\), tìm tọa độ \(x_1, x_2, x_3\) của véc-tơ \(u = (0, 1, 1) \) theo cơ sở \(B = \{u_1 = (1,2,-1); \; u_2 = (2,0,1);  \; u_3 = (3,1,-1)\}\)

Câu 28: Giải tìm nghiệm của phương trình

\[ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2}&{ - 2}\\ x&{x + 1} \end{array}} \right| = 8 \]

A. \( x = -1 \vee x = 6 \)

B. \( x = -1 \vee x = -6 \)

C. \( x = 1 \vee x = -6 \)

D. \( x = 1 \vee x = 6 \)

Câu 27: Trong không gian véc-tơ \( \mathbb{R}^3 \) cho không gian nghiệm 

\[ W = \left\{(x,y,z): x + y + 2z = 0  \right\} \]

Một cơ sở của W là:

Câu 25: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 = 1 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 = 3 \\ 2x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 4 \end{cases} \]