Đề kiểm tra Toán cao cấp A1 Mã đề 002

Cho ma trận $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$. Thực hiện phép tính $-3 A$.

1. $-3 A=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right)$
2. $-3 A=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 3 & -3 & 0 \\ -3 & -3 & -3\end{array}\right)$
3. $-3 A=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ -3 & -3 & 0 \\ -3 & -3 & -3\end{array}\right)$
4. $-3 A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -3 & 3 & 0 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right)$

Cho hai ma trận $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), I_2=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$. Thực hiện phép toán $A I_2$.

1. $A I_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$
2. $A I_2=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$
3. $A I_2$ không tính được.
4. $A I_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\right)$

Tính định thức $A=\left|\begin{array}{lll}2 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right|$.

Giải tìm nghiệm của phương trình $\left|\begin{array}{cc}x-1 & -2 \\ x-2 & x-1\end{array}\right|=0$.

1. $x=3 \vee x=-3$
2. $x=\sqrt{3}$
3. $x=3$
4. $x=\sqrt{3} \vee x=-\sqrt{3}$

Tìm hạng của ma trận $A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & -1 & 3 & -2 & 4 \\ 4 & -2 & 5 & 1 & 7 \\ 2 & -1 & 1 & 8 & 2\end{array}\right)$.

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8\end{array}\right)$.

1. $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-40 & 16 & -8 \\ 13 & 5 & -3 \\ 5 & -2 & -1\end{array}\right)$
2. $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-40 & 16 & 9 \\ 13 & -5 & -3 \\ 5 & -2 & -1\end{array}\right)$
3. $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-40 & 16 & -8 \\ 13 & -5 & -3 \\ 5 & -2 & -1\end{array}\right)$
4. $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-40 & 16 & 9 \\ 13 & -5 & -3 \\ 5 & -2 & 1\end{array}\right)$

Mã hóa tin nhắn “NOTHING ELSE” bằng ma trận mã hóa $A-\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right)$.

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính $\left\{\begin{array}{cc}x_1+x_2 & =2 \\ 2 x_1+2 x_2+x_3 & =3 \\ x_1 +x_3 &=8\end{array}\right.$.

Cho hệ phương trình tuyến tính sau $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2-2 \\ 2 x_1+2 x_2+x_5-3 \\ x_1+x_3-8\end{array}\right.$ Hãy tìm giá trị của ẩn $x_3$.

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính $\left\{\begin{array}{l}x_1-2 x_2-3 x_3=-3 \\ -x_1+2 x_2+3 x_5=2 \\ x_1-2 x_2+5 x_5=-5\end{array}\right.$.

Tìm $m$ để hệ phương trình tuyến tính sau có một nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\ x+2 y-m z=1 \\ 2 x+3 y+2 z=1\end{array}\right.$

1. $m \neq 4$
2. $m \neq-1$
3. $m \neq 1$
4. $m \neq 3$

Giả sử 1 nền kinh tế của 1 quốc gia nhỏ có 3 ngành: công nghiệp điện tử  (Electronics industry, viết tắt là E), ngành công nghiệp gang thép (Steel industry, viết tắt là S) và ngành công nghệ ôtô (Auto industry, viết tắt A) với ma trận hệ số đầu vào là

$A=\left(\begin{array}{ccc}0.6 & 0.2 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5 \\ 0.1 & 0.2 & 0.2\end{array}\right)$

Quốc gia đó mong muốn có lượng thặng dư là $\mathbf{5 4 0}$ đơn vị sản lượng công nghiệp điện tử, $\mathbf{3 0}$ đơn vị sản lượng ngành gang thép và $\mathbf{1 4 0}$ đơn vị sản lượng ngành ôtô. Gọi $x_1, x_2, x_3$ lần lượt là tổng sản lượng ngành công nghiệp điện tử, ngành gang thép và ngành ôtô. Tìm $x_3$.

Giả sử 1 nền kinh tể đơn giản có 3 ngành: dịch vụ (Service, viêt tắt là S ), ngành chế tạo (Manufacturing, viểt tắt là M ) và ngành nông nghiệp (Agriculture, viết tắt A ) với ma trận hệ số đầu vào là

$A=\left(\begin{array}{ccc}0.4 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.5 & 0.2 \\ 0.2 & 0.1 & 0.3\end{array}\right)$

Ta mong muốn có lượng thặng dư là 24 đơn vị sản lượng dịch vụ, 62 đơn vị sản lượng ngành chế tạo và 32 đơn vị sản lượng ngành nông nghiệp. Gọi $x_1, x_2, x_3$ lần lượt là tổng sản lượng ngành công nghiệp dịch vụ, ngành chế tạo và ngành nông nghiệp. Tìm $x_1, x_2, x_3$.

Trong không gian véc-tơ $\mathbb{R}^3$, cho hai véc-tơ $u=(2,-2,0)$; $v=(-2,4,4)$. Tìm véc-tơ $w$ thỏa phương trình $3 u+4 v+2 w=0$.

Tập nào sau đây là 1 cơ sở của không gian $\mathbb{R}^3$.

Trong không gian $\mathbb{R}^3$, tìm tọa độ $x_1, x_2, x_3$ của véc-tơ $u=(2,1,3)$ theo cơ sở $A=\left\{u_1=(1,0,0) ; u_2=(1,1,1) ; u_3=(-1,-3,-4)\right\}$

Tìm một cơ sở của không gian nghiệm sau

$$

W=\left\{v=(x, y, z)\left|\left\{\begin{array}{l}

x+y+2 z=0 \\

x+2 y-3 z=0

\end{array}\right\}\right\}\right.

$$

Trong không gian $\mathbb{R}^2$, tìm ma trận $A$ biểu diễn phép quay quanh gốc tọa độ với góc quay $\theta=\frac{\pi}{2}$. Từ đó tìm ảnh $u^{\prime}$ của véc-tơ $u=\binom{4}{5}$ qua phép quay trên.

1. $A=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right), u^{\prime}=\binom{5}{4}$
2. $A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right), u^{\prime}=\binom{-5}{4}$
3. $A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right), u^{\prime}=\binom{5}{4}$
4. $A=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right), u^{\prime}=\binom{5}{-4}$

Tìm các giá trị riêng $\lambda$ của ma trận $A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 6 & 5\end{array}\right]$.

1. $\lambda=-1 \vee \lambda=6$
2. $\lambda=1 \vee \lambda=6$
3. $\lambda=-1$
4. $\lambda=2 \vee \lambda=3$

Tìm các véc-tơ riêng ứng với trị riêng $\lambda=3$ của ma trận $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$.

1. $u=(-\alpha, \alpha)$ với $\alpha \in \mathbb{R}$
2. $u=(\alpha, \alpha)$ với $\alpha \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$
3. $u=(-\alpha, \alpha)$ với $\alpha \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$
4. $u=(\alpha, \alpha)$ với $\alpha \in \mathbb{R}$