Đề kiểm tra Toán cao cấp A1 Mã đề 081

Câu 17: Tính định thức của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ -3 & -1 & 0 \\ 7 & -4 & 2 \end{pmatrix} \]

Câu 13: Cho hai ma trận

\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. \]

Thực hiện phép toán \( PQ \).

A. \( PQ = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \)

B. \( PQ = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -4 & -6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \)

C. \( PQ = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 4 & -6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \)

D. \( PQ = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ -4 & -6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \)

Câu 6: Tính định thức 

\[ D = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} \]

Câu 14: Tìm hạng của ma trận

\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 3 & 9 \\ 2 & 3 & 6 & 9 & 10 \\ -1 & 0 & 3 & -9 & 7 \\ 3 & 5 & 8 & 10 & 15 \end{pmatrix} \]

Câu 12: Trong không gian \( \mathbb{R}^2 \), tìm ma trận \( A \) biểu diễn phép quay quanh gốc tọa độ với góc quay \( \theta = -\dfrac{\pi}{2} \). Từ đó tìm ảnh \( u' \) của vectơ \( u = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} \)  qua phép quay trên.

A. \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix} \)

B. \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \)

C. \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \)

D. \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix} \)

Câu 11: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} x - y + 2z = -1 \\ 2x - 2y + 5z = -2 \\ 3x - 2y + 6z = -2 \end{cases} \]

Câu 10: Giải hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} x + y + z = -5 \\ 2x + 3y - z = 1 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases} \]

A. Hệ vô nghiệm
B. \( x = \alpha, \; y = \beta, \; z = 1 - \alpha - \beta; \; \alpha, \beta \in \mathbb{R} \)
C. \(  x = 1 - \alpha, \; y = 1, \; z = \alpha; \; \alpha \in \mathbb{R} \)
D. \( x = -1, \; y = 1, \; z = 0 \)

Câu 19: Tìm số chiều \(n \) của không gian nghiệm sau

\[ W = \left\{ {(x,y,z):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y + 2z = 0}\\ {x + 2y - 3z = 0}\\ { - x - y - 2z = 0} \end{array}} \right.} \right\} \]

Câu 18: Cho ma trận

\[ A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&1\\ { - 2}&2&{ - 2} \end{array}} \right). \]

Thực hiện phép tính \( -3A \).

A. \( - 3A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { 3}&-3&{  3}\\ -6&{  6}&-6 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

B. \( - 3A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&3&{ - 3}\\ 6&{ - 6}&6 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

C. \( - 3A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ 3}&3\\ { - 6}&-6&{ - 6} \end{array}} \right){\rm{ }} \)

D. \( - 3A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&{ - 3}&{ - 3}\\ 6&6&6 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

Câu 20: Trong không gian \( \mathbb{R}^3 \), hệ vectơ nào sau đây độc lập tuyến tính?

A. \( \{u_1 = (-1, -2, -3);\, u_2 = (2, 4, 6);\, u_3 = (1, 2, 3)\} \) 
B. \( \{u_1 = (0, 0, 0);\, u_2 = (2, 4, 6);\, u_3 = (1, 2, 3)\} \) 
C. \( \{u_1 = (1, -2, 1);\, u_2 = (2, 4, 6);\, u_3 = (1, 2, 3)\} \)
D. \( \{u_1 = (1, -2, 1);\, u_2 = (2, 4, 5);\, u_3 = (1, 2, 3)\} \)

Câu 4: Giả sử 1 nền kinh tế gồm 3 ngành: đánh bắt cá (Fishing, viết tắt là F), ngành nông nghiệp (Agriculture, viết tắt là A) và ngành dầu mỏ (Mining, viết tắt là M) với ma trận hệ số đầu vào là

\[ A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.5}&{0.1}&{0.1}\\ {0.3}&{0.5}&{0.2}\\ {0.1}&{0.3}&{0.4} \end{array}} \right)\;\begin{array}{*{20}{l}} {\rm{F}}\\ {\rm{A}}\\ {\rm{M}} \end{array} \]

Ta mong muốn có lượng thặng dư là 11 đơn vị sản lượng ngành đánh bắt cá, 5 đơn vị sản lượng ngành nông nghiệp và 5 đơn vị sản lượng ngành khai thác mỏ. Gọi \( x_1, x_2, x_3 \) lần lượt là tổng sản lượng ngành đánh bắt cá, ngành nông nghiệp và ngành khai thác mỏ. Tìm \( x_2 \).

Câu 2: Trong không gian \(\mathbb{R}^3\), tìm tọa độ \(x_1, x_2, x_3\) của véc-tơ \(u = (4, 6, 12) \) theo cơ sở \(A = \{u_1 = (1,2,3); \; u_2 = (1,3,4);  \; u_3 = (2,4,7)\}\)

Câu 15: Tìm các vectơ riêng ứng với trị riêng \( \lambda = 1 \) của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. \]

A. \( u = (-\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \) 

B. \( u = (\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \)

C. \( u = (\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \)

D. \( u = (-\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \) 

Câu 16: Giải mã thông điệp 78, 49, 81, 45, 119, 73, 51, 28, 14, 9, 131, 79 được mã hoá bằng ma trận mã hoá

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]

Câu 7: Giả sử 1 nền kinh tế của 1 quốc gia nhỏ có 3 ngành: công nghiệp điện tử (Electronics industry, viết tắt là E), ngành công  nghiệp gang thép (Steel industry, viết tắt là S) và ngành công nghệ ôtô (Auto industry, viết tắt là A) với ma trận hệ số đầu vào là

\[ A = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.2 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5 \\ 0.1 & 0.2 & 0.2 \end{pmatrix} \quad \begin{array}{l} \text{E} \\ \text{S} \\ \text{A} \end{array} \]

Quốc gia đó mong muốn có lượng thặng dư là 54 đơn vị sản lượng công nghiệp điện tử, 3 đơn vị sản lượng ngành gang thép và 14 đơn vị sản lượng ngành ôtô. Gọi \(x_1, x_2, x_3 \) lần lượt là tổng sản lượng ngành công nghiệp điện tử, ngành gang thép và ngành ôtô. Tìm \(x_2 \)

Câu 5: Tìm \(m\) để hệ phương trình tuyến tính sau có một nghiệm duy nhất

\[ \begin{cases} mx + 3y = 2m^2 + 3m + 2 \\ 3x + my = m^3 + 1 \end{cases} \]

A. \( m \ne 4 \)

B. \( m \ne -4 \wedge m = 4 \)

C. \( m \ne 3 \)

D. \( m \ne 3 \wedge m \ne -3 \)

Câu 1: Cho hệ phương trình tuyến tính sau \( \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y - z = 1 \\ 3x + 4y + 3z = 1 \end{cases} \)

Hãy tìm giá trị của ẩn \( x \)?

Câu 3: Tìm 1 cơ sở của không gian con \( W \subset \mathbb{R}^3 \) sinh bởi các vectơ sau

\[\{ {\alpha _1} = (1,0, - 1);\;{\alpha _2} = (2,2, - 1);\;{\alpha _3} = (1,0,1);\;{\alpha _4} = (3,2, - 2)\} \]

A. \( \{\alpha_1, \; \alpha_2, \; \alpha_3\} \)

B. \( \{\alpha_1, \; \alpha_2, \; \alpha_3, \; \alpha_4\} \)

C. \( \{\alpha_1, \; \alpha_2\} \)

D. \( \{\alpha_1\} \)

Câu 9: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 6 & -7 \\ 1 & 0 & 0 \\ 8 & 1 & -1 \end{pmatrix} \]

A. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 51 & -7 \\ -1 & 43 & -6 \end{pmatrix} \)

B. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 51 & 7 \\ 1 & 43 & 6 \end{pmatrix} \)

C. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & -51 & -7 \\ -1 & -43 & -6 \end{pmatrix} \)

D. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & -51 & 7 \\ -1 & -43 & 6 \end{pmatrix} \)

Câu 8: Tìm các giá trị riêng \( \lambda \) của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -8 & -3 \end{pmatrix} \]

A. \( \lambda = 1 \)
B. \( \lambda = 2 \)
C. \( \lambda = 1  \; \vee \; \lambda = 2 \)
D. \( \lambda = -1 \; \vee \; \lambda = 2 \)