Đáp án Toán rời rạc mã đề 322-2022

Views: 1598

Câu 1 (3 điểm):
Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 8$

thỏa điều kiện
a. $x_{3}, x_{4} \geq 1$
b. $x_{1} \geq 1$ hay $x_{2} \geq 2$

Câu 2. (3 điểm) Trên tập hợp $S=\{-2,-1,0,2,3,4,5,7,9\}$.
Ta xét quan hệ hai ngôi $\Re$ như sau: $\forall x, y \in S, x \Re y \Leftrightarrow x-y$ chia hết cho 3.
a. Chứng minh $\Re$ là quan hệ tương đương trên $S$.
b. Xác định các lớp tương đương [1], [2], [3].

Câu 3. (4 điểm) Cho hàm Bool 4 biến xác định bởi $F(x, y, z, t)=x t \vee y t \vee \bar{x} y \vee \bar{x} \bar{t} \vee x \bar{y} \bar{z} \vee \bar{y} \bar{z} \bar{t}$
a. Hãy vẽ biều đồ Karnaugh của $F$ và xác định các tế bào lớn.
b. Tìm công thức đa thức tối tiều của hàm $F$.
c. Vẽ sơ đồ mạch các cổng logic của hàm $F$ tương ứng với công thức đa thức tối tiều tìm được trong câu b.

— Hết —

LỜI GIẢI

Câu 1

a. Từ điều kiện $x_{3}, x_{4} \geq 1$ ta có

$x_{1} \geq 0 \Rightarrow y_{1}=x_{1} $

$x_{2} \geq 0 \Rightarrow y_{2}=x_{2} $

$x_{3} \geq 1 \Rightarrow y_{3}=x_{3}-1 $

$x_{4} \geq 1 \Rightarrow y_{4}=x_{4}-1 $

$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=8-0-0-1-1=6 $

$ {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}}\ge 0 $

(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 6, n = 4$)

$K_{4}^{6}=C_{6+4-1}^{6}=C_{9}^{6}=84 $

b. TH1: $x_{1} \geq 1, x_{2} \geq 0, x_{3} \geq 0, x_{4} \geq 0 $ ta có:

$x_{1} \geq 1 \Rightarrow y_{1}=x_{1}-1 $

$x_{2} \geq 0 \Rightarrow y_{2}=x_{2} $

$x_{3} \geq 0 \Rightarrow y_{3}=x_{3} $

$x_{4} \geq 0 \Rightarrow y_{4}=x_{4} $

$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=8-1-0-0-0=7 $

$ {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}}\ge 0 $

(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 7, n = 4$)

$K_{4}^{7}=C_{7+4-1}^{7}=C_{10}^{7}=120 $

TH2: $ x_{2} \geq 2, x_{1} \geq 0, x_{3} \geq 0, x_{4} \geq 0 $

$x_{1} \geq 0 \Rightarrow y_{1}=x_{1} $

$x_{2} \geq 2 \Rightarrow y_{2}=x_{2}-2 $

$x_{3} \geq 0 \Rightarrow y_{3}=x_{3} $

$x_{4} \geq 0 \Rightarrow y_{4}=x_{4} $

$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=8-0-2-0-0=6 $

$ {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}}\ge 0 $

(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 6, n = 4$)

$K_{4}^{6}=C_{6+4-1}^{6}=C_{9}^{6}=84$

Câu 2.

a.

+ Tính phản xạ: $\forall x \in S, x-x=0$ chia hết cho $3 \Rightarrow x \Re x$
+ Tính đối xứng: $\forall x \in S, x \Re y \Rightarrow(x-y)$ chia hết cho 3
$\Rightarrow-(x-y)$ cũng chia hết cho 3
$\Rightarrow y-x$ chia hết cho $3 \Rightarrow y \Re x$
+ Tính bắc cầu: $\forall x \in S, x \Re y \wedge y \Re z$

$\Rightarrow x-y $ chia hết cho 3 và $ y-z $ chia hết cho 3

$\Rightarrow x-z = (x-y+y-z)$ chia hết cho 3
$\Rightarrow x-z$ chia hết cho $3 \Rightarrow x \Re z$

Theo đề bài ta có $x \Re y\Leftrightarrow x+3y$ chẵn

b. Theo đề bài ta có $\forall x, y \in S, x \Re y \Leftrightarrow x-y$ chia hết cho 3.

$\overline{1}=[1]=\{y \in S \mid y \Re 1\} \Leftrightarrow y-1$ chia hết cho 3. Suy ra trong tập $S=\{-2,-1,0,2,3,4,5,7,9\}$, $y$ nhận các giá trị $\{-2,4,7\}$.

• Vậy: $\overline{1}=[1]=\{y \in S \mid y \Re 1\}=\{-2,4,7\}$

Tương tự: $\overline{2}=[2]=\{y \in S \mid y \Re 2\}= \Leftrightarrow y-2$ chia hết cho 3. Suy ra trong tập $S$, $y$ nhận các giá trị $\{-1,2,5\}$.

• Vậy: $\overline{2}=[2]=\{y \in S \mid y \Re 2\}=\{-1,2,5\}$

$\overline{3}=[3]=\{y \in S \mid y \Re 3\}= \Leftrightarrow y-3$ chia hết cho 3. Suy ra trong tập $S$, $y$ nhận các giá trị $\{0,3,9\}$.

• Vậy: $\overline{3}=[3]=\{y \in S \mid y \Re 3\}=\{0,3,9\}$

Câu 3

Có 5 tế bào lớn: Tế bào 1: $\bar{x} y$. Tế bào 2: $x t$. Tế bào 3: $y t$. Tế bào 4: $\overline{z t}$. Tế bào 5: $\overline{x t}$
Công thức đa thức tối tiểu của $\mathrm{F}$ là
$F=\bar{x} y \vee x t \vee \bar{z} \bar{t} \vee \bar{x} \bar{t}$
$F=x t \vee y t \vee \bar{z}\bar{t} \vee \bar{x} \bar{t}$

Vẽ được sơ đồ mạch logic từ hàm Bool