Đáp án Toán rời rạc mã đề 321-2022

Views: 2620

Câu 1 (3 điểm):

Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 20$ thỏa điều kiện

a. ${{x}_{1}}\ge 3;{{x}_{2}}>0;{{x}_{3}}\ge 2;{{x}_{4}}>-2$

b. $ 1 \le x_1 \le 5; x_2 \ge 1; x_3 \ge -2; x_4 \ge 0$

Câu 2 (3 điểm): Trên tập hợp $S = \{-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5 \}$

Ta xét quan hệ hai ngôi $\Re$ như sau: $\forall x,y\in S,x \Re y\Leftrightarrow x+3y$ chẵn.

a. Chứng minh $\Re$ là quan hệ tương đương trên S.

b. Xác định các lớp tương đương [1], [2], [4].

Câu 3. (4 điểm )  Cho hàm Bool 4 biến xác định bởi $F(x,y,z,t)=z\bar{t} \vee x\bar{y}\bar{z} \vee \bar{x}yt \vee \bar{x} \bar{y}\bar{z} \vee yz\bar{t} \vee \bar{y}\bar{t}$

a. Hãy vẽ biểu đồ Karnaugh của và xác định các tế bào lớn.

b. Tìm công thức đa thức tối tiểu của hàm .

c. Vẽ sơ đồ mạch các cổng logic của hàm tương ứng với công thức đa thức tối tiểu tìm được trong câu b.

— Hết —

LỜI GIẢI

Câu 1

a. Từ điều kiện: ${{x}_{1}}\ge 3;{{x}_{2}}>0;{{x}_{3}}\ge 2;{{x}_{4}}>-2$, ta có:

$ {{x}_{1}}\ge 3\Rightarrow {{y}_{1}}={{x}_{1}}-3 $

$ {{x}_{2}}\ge 1\Rightarrow {{y}_{2}}={{x}_{2}}-1$ 

$ {{x}_{3}}\ge 2\Rightarrow {{y}_{3}}={{x}_{3}}-2 $

$ {{x}_{4}}\ge -1\Rightarrow {{y}_{4}}={{x}_{4}}+1 $

$ {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}}\ge 0 $

${{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}+{{y}_{4}}=20-3-1-2+1=15$

(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 15, n = 4$)

$K_{4}^{15}=C_{15+4-1}^{15}=C_{18}^{15}=816$

b. TH1: $x_{1} \geq 1, x_{2} \geq 1 ; x_{3} \geq-2 ; x_{4} \geq 0 $ ta có:
$x_{1} \geq 1 \Rightarrow y_{1}=x_{1}-1 $
$x_{2} \geq 1 \Rightarrow y_{2}=x_{2}-1 $
$x_{3} \geq-2 \Rightarrow y_{3}=x_{3}+2 $
$x_{4} \geq 0 \Rightarrow y_{4}=x_{4} $
$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=20-1-1+2-0=20 $

$ {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}}\ge 0 $

(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 20, n = 4$)
$K_{4}^{20}=C_{20+4-1}^{20}=C_{23}^{20}=1771 $

TH2: $x_{1} \geq 6, x_{2} \geq 1 ; x_{3} \geq-2 ; x_{4} \geq 0 $ ta có:
$x_{1} \geq 6 \Rightarrow y_{1}=x_{1}-6 $
$x_{2} \geq 1 \Rightarrow y_{2}=x_{2}-1 $
$x_{3} \geq-2 \Rightarrow y_{3}=x_{3}+2 $
$x_{4} \geq 0 \Rightarrow y_{4}=x_{4} $
$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=20-6-1+2-0=15 $

$ {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}}\ge 0 $

(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 15, n = 4$)
$K_{4}^{15}=C_{15+4-1}^{15}=C_{18}^{15}=816 $

Vậy số nghiệm nguyên không âm của phương trình là $1771-816=955$

Câu 2

a.

+ Tính phản xạ: $\forall x \in S, x+3 x=4 x$ chẵn $\Rightarrow x \Re x$
+ Tính đối xứng: $\forall x, y \in S, x \Re y \Rightarrow(x+3 y)$ chẵn, chứng minh $(y+3 x)$ chẵn. Thật vậy:
$y+3 x=(x+3y)+(2x-2y)$ (vì $(x+3 y)$ và $(2x-2y)$ chẵn.

$\Rightarrow y+3 x$ chẵn $\Rightarrow y \Re x$
+ Tính bắc cầu: $\forall x, y, z \in S, x \Re y \wedge y \Re z$
$\Rightarrow x+3 y$ chẳn và $y+3 z $ chẳn

$\Rightarrow x+3 z=(x+3 y)+(y+3 z)-4 y $ chẵn $\Rightarrow x+3 z$ chẵn $\Rightarrow x \Re z$

b.

Theo đề bài ta có $x \Re y\Leftrightarrow x+3y$ chẵn

$\overline{1}=[1]=\{y \in S \mid y \Re 1\} \Leftrightarrow y+3.1$ chẵn. Suy ra trong tập $S= \{-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5 \}$, $y$ nhận các giá trị $\{-1,1,3,5\}$.

• Vậy: $\overline{1}=[1]=\{y \in S \mid y \Re 1\}=\{-1,1,3,5\}$

Tương tự: $\overline{2}=[2]=\{y \in S \mid y \Re 2\}= \Leftrightarrow y+3.2$ chẵn. Suy ra trong tập $S$, $y$ nhận các giá trị $\{-2,2,4\}$.

• Vậy: $\overline{2}=[2]=\{y \in S \mid y \Re 2\}=\{-2,2,4\}$

$\overline{4}=[4]=\{y \in S \mid y \Re 4\}= \Leftrightarrow y+3.4$ chẵn. Suy ra trong tập $S$, $y$ nhận các giá trị $\{-2,2,4\}$.

• Vậy: $\overline{4}=[4]=\{y \in S \mid y \Re 4\}=\{-2,2,4\}$

Câu 3

Có 6 tế bào lớn: Tế bào 1: $z \bar{t}$. Tế bào 2: $\overline{y t}$. Tế bào 3: $\overline{y z}$. Tế bào 4: $\bar{x} y z$. Tế bào 5: $\bar{x} y t$. Tế bào 6: $\bar{x} \bar{z} t$

Công thức đa thức tối tiểu của $\mathrm{F}$ là $F=z \bar{t} \vee \bar{y} \bar{z} \vee \bar{x} y t$
Vẽ được sơ đồ mạch logic từ hàm Bool